最大公约数 & 最小公倍数计算器

最大公约数与最小公倍数计算器能求出一组整数的 GCD 和 LCM，并展示约简步骤。当你需要约分、对齐重复日程或核对齿轮比时，它就是该用的工具，而且它支持的输入不止一对。

使用方法

1. 输入两个或更多数字，用逗号或空格分隔。48, 18 和 48 18 这样的混合写法都可以。
2. 读取两个结果：GCD 和 LCM。
3. 展开步骤面板，按顺序查看每一次成对计算。
4. 一键复制任一结果。

解析器会在任意连续逗号或空白处切分，并忽略不是数字的记号，因此多余的分隔符、末尾逗号和粘贴进来的换行都不会报错。

实操示例：GCD(48, 18)

GCD 使用欧几里得算法：用较大数除以较小数，用较小数和余数替换原来的一对，重复直到余数为零。最后一个非零余数就是 GCD。

48 ÷ 18 = 2 余 12
18 ÷ 12 = 1 余  6
12 ÷  6 = 2 余  0

最后一个非零余数是 6，所以 GCD(48, 18) = 6。工具对这对数的步骤行是 GCD(48, 18) = 6。

随后 LCM 由下面的恒等式得出：48 × 18 ÷ 6 = 144。作为检验，48 和 18 都能整除 144，而且没有更小的数能做到。

扩展到三个或更多数字

输入超过两个时，计算按链条进行。以列表 12, 18, 24 为例：

步骤	运算	结果
1	GCD(12, 18)	6
2	GCD(6, 24)	6
3	LCM(12, 18)	36
4	LCM(36, 24)	72

总 GCD 是 6，LCM 是 72。成对折叠之所以有效，是因为 gcd 和 lcm 在正整数上都满足结合律和交换律，所以输入的先后顺序不改变最终答案。

GCD 与 LCM 的关系公式

对任意两个正整数 a 和 b：

GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b

工具使用变形后的形式，在得到 GCD 之后才计算 LCM：

LCM(a, b) = (a × b) / GCD(a, b)

这比逐个分解质因数更高效、也更不容易出错，同时解释了为什么一对数的 LCM 总能被这两个数整除。两者互为对偶：GCD 是同时装进两个数的最大块，LCM 是能被两个数正好填满的最小容器。

对一组数字而言，这个恒等式是逐对延伸的，而不是作为一个乘积整体成立，这也是步骤按成对展示的原因。

边界情况与局限

• 小数会被四舍五入。 每个输入都经过 Math.round，所以 2.5 变成 3，4.4 变成 4。结果列表里显示的是取整后的整数，而不是你输入的值。
• 零会把 LCM 变成零。 GCD(0, 5) = 5，但 LCM(0, 5) = 0。步骤行写作 LCM(0, 5) = 0 (contains zero)。
• 负数取绝对值。 GCD(-12, 18) = 6，LCM(-12, 18) = 36。
• 大的互质输入可能溢出。 受 JavaScript 双精度数字限制，LCM 只在约 9000 万亿以内精确。像 999983, 999979, 999961 这样的一组数可能超出该范围。
• 非数字记号会被丢弃。 12, abc, 18 会静默变成 12, 18，所以信任结果前请核对解析出的数字列表。

用 GCD 约分

GCD 最常见的用途是把分数化为最简。用最大公约数去除分子和分母，一步就能约分，因为这个约数按定义就是两者共有的最大因子。

以 48/18 为例。GCD 是 6，上下同除：48 ÷ 6 = 8，18 ÷ 6 = 3，得到 8/3。没有更小的一对整数能表示同一个值，而 8 和 3 互质，即它们的 GCD 为 1。分母为负时同样安全，因为工具取绝对值，按符号惯例 48/-18 也约成 -8/3。

LCM 是加减法时的对应物。要把 1/12 和 1/18 相加，需要一个公分母，最小的是 LCM(12, 18) = 36。把两个分数改写成以 36 为分母：1/12 = 3/36，1/18 = 2/36，和为 5/36。选择 LCM 能让数字尽可能小；任何公倍数都可以，但 36 是最小的。

处理一串分数时，可以一次输入所有分母，用得到的 LCM 作为公共分母。这也是工具接受列表而不只是两个数的原因。

应用场景

• 分数化简。 分子分母同除以 GCD，一步约分：48/18 变成 8/3。
• 排期。 LCM 告诉你两个周期性事件下次何时重合。每 12 天和每 18 天会在 36 天后再次对齐。
• 齿轮比与机械。 用 GCD 给出最简齿数比，用 LCM 显示两个啮合齿轮何时回到起始对位。
• 数论练习。 看清每一步欧几里得算法，考试时更容易手算复现。

相关工具

• 质数工具
• 分数计算器
• 百分比计算器