ggT & kgV-Rechner

Der GCD-&-LCM-Rechner findet den größten gemeinsamen Teiler (GCD) und das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) einer Liste ganzer Zahlen und zeigt die Reduktionsschritte. Er ist das Werkzeug der Wahl, wenn Sie einen Bruch kürzen, wiederkehrende Zeitpläne aufeinander abstimmen oder ein Getriebeverhältnis prüfen, und er verarbeitet mehr als das übliche Zahlenpaar.

Verwendung

1. Geben Sie zwei oder mehr Zahlen ein, getrennt durch Kommas oder Leerzeichen. Eine Mischung wie 48, 18 und 48 18 funktioniert gleichermaßen.
2. Lesen Sie die beiden Ergebnisse ab: den GCD und den LCM.
3. Öffnen Sie das Schritte-Panel, um jede paarweise Berechnung in ihrer Reihenfolge zu sehen.
4. Kopieren Sie eines der Ergebnisse mit einem Klick.

Der Parser trennt an beliebig vielen Kommas oder Leerzeichen und ignoriert Token, die keine Zahlen sind, daher verursachen verstreute Trennzeichen, abschließende Kommas und eingefügte Zeilenumbrüche keinen Fehler.

Praxisbeispiel: GCD(48, 18)

Der GCD nutzt den euklidischen Algorithmus: Teilen Sie die größere Zahl durch die kleinere, ersetzen Sie das Paar durch die kleinere Zahl und den Rest und wiederholen Sie, bis der Rest null ist. Der letzte von null verschiedene Rest ist der GCD.

48 ÷ 18 = 2 Rest 12
18 ÷ 12 = 1 Rest  6
12 ÷  6 = 2 Rest  0

Der letzte von null verschiedene Rest ist 6, also GCD(48, 18) = 6. Die Schrittzeile des Tools für dieses Paar lautet GCD(48, 18) = 6.

Der LCM folgt dann aus der unten stehenden Identität und ergibt 48 × 18 ÷ 6 = 144. Zur Kontrolle: Sowohl 48 als auch 18 teilen 144 ohne Rest, und keine kleinere Zahl tut das.

Erweiterung auf drei oder mehr Zahlen

Bei mehr als zwei Eingaben läuft die Berechnung als Kette. Für die Liste 12, 18, 24:

Schritt	Operation	Ergebnis
1	GCD(12, 18)	6
2	GCD(6, 24)	6
3	LCM(12, 18)	36
4	LCM(36, 24)	72

Der Gesamt-GCD ist 6 und der LCM ist 72. Die paarweise Faltung ist gültig, weil sowohl gcd als auch lcm über den positiven ganzen Zahlen assoziativ und kommutativ sind, die Reihenfolge der Eingaben ändert das Gesamtergebnis also nicht.

Die Formel, die GCD und LCM verbindet

Für zwei beliebige positive ganze Zahlen a und b gilt:

GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b

Das Tool nutzt die umgestellte Form, um den LCM erst zu berechnen, nachdem es den GCD hat:

LCM(a, b) = (a × b) / GCD(a, b)

Das ist effizienter und weniger fehleranfällig, als jede Zahl zu faktorisieren, und erklärt, warum der LCM eines Paares stets ohne Rest durch beide Zahlen teilbar ist. Die beiden Größen sind Umkehrungen voneinander: Der GCD ist das größte Stück, das in beide Zahlen passt, der LCM der kleinste Behälter, den beide exakt füllen.

Für eine Liste von Zahlen erweitert sich die Identität jeweils paarweise, statt als einzelnes Produkt zu gelten, weshalb die Schritte paarweise angezeigt werden.

Randfälle und Grenzen

• Dezimalzahlen werden gerundet. Jede Eingabe durchläuft Math.round, sodass 2,5 zu 3 und 4,4 zu 4 wird. Die in der Ergebnisliste angezeigten Eingaben sind die gerundeten ganzen Zahlen, nicht das, was Sie eingegeben haben.
• Null erzwingt einen LCM von null. GCD(0, 5) = 5, aber LCM(0, 5) = 0. Die Schrittzeile lautet LCM(0, 5) = 0 (contains zero).
• Negative Zahlen nutzen ihren Betrag. GCD(-12, 18) = 6 und LCM(-12, 18) = 36.
• Große teilerfremde Eingaben können überlaufen. Mit JavaScripts Gleitkommazahlen doppelter Genauigkeit ist der LCM nur bis etwa 9 Billiarden exakt. Eine Menge wie 999983, 999979, 999961 kann diesen Bereich überschreiten.
• Nicht numerische Token werden verworfen. 12, abc, 18 wird still zu 12, 18, prüfen Sie also die geparste Zahlenliste, bevor Sie dem Ergebnis vertrauen.

Brüche mit dem GCD kürzen

Die häufigste Verwendung des GCD ist das Bringen eines Bruchs in die niedrigste Form. Beide Teile durch ihren größten gemeinsamen Teiler zu teilen, kürzt ihn in einem Schritt, weil dieser Teiler per Definition der größte gemeinsame Faktor ist.

Nehmen Sie 48/18. Der GCD ist 6, also teilen Sie Zähler und Nenner: 48 ÷ 6 = 8 und 18 ÷ 6 = 3, was 8/3 ergibt. Kein kleineres Paar ganzer Zahlen stellt denselben Wert dar, und 8 und 3 sind teilerfremd, ihr GCD ist also 1. Dasselbe mit einem negativen Nenner ist sicher, weil das Tool Absolutwerte nimmt, sodass 48/-18 in Vorzeichenkonvention ebenfalls zu -8/3 wird.

Der LCM ist das Gegenstück für Addition und Subtraktion. Um 1/12 und 1/18 zu addieren, brauchen Sie einen gemeinsamen Nenner, und der kleinste ist LCM(12, 18) = 36. Schreiben Sie beide Brüche über 36: 1/12 = 3/36 und 1/18 = 2/36, die Summe ist also 5/36. Den LCM zu wählen hält die Zahlen so klein wie möglich; jedes gemeinsame Vielfache würde funktionieren, aber 36 ist das kleinste.

Für eine Kette von Brüchen geben Sie alle Nenner auf einmal ein und nutzen den resultierenden LCM als gemeinsamen Nenner. Deshalb akzeptiert das Tool eine Liste statt nur eines Paares.

Wo das auftaucht

• Bruchvereinfachung. Zähler und Nenner durch ihren GCD teilen, um in einem Schritt zu kürzen: 48/18 wird zu 8/3.
• Zeitplanung. Der LCM sagt, wann zwei wiederkehrende Ereignisse das nächste Mal zusammenfallen. Alle 12 Tage und alle 18 Tage fällt es nach 36 Tagen erneut zusammen.
• Getriebeverhältnisse und Maschinen. Der GCD liefert das einfachste Zahnverhältnis; der LCM zeigt, wann zwei ineinandergreifende Zahnräder wieder ihre Ausgangsstellung erreichen.
• Zahlentheorie-Übung. Jeden euklidischen Schritt zu sehen, macht den Algorithmus in einer Prüfung leichter von Hand reproduzierbar.

Verwandte Tools

• Primzahl-Tools
• Bruchrechner
• Prozentrechner
• Zahlenbasis-Konverter